|
Professor Seleznov
|
Из курса дифференциальных уравнений многие наверняка помнят теоремы существования и единственности для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Не пересказывая учебники, напомню лишь неформально, как выглядит эта задача по существу.
Дана система ОДУ с начальными условиями:
Дальнейшее зависит от свойств вектор-функции
.
Если функция
достаточно регулярна (например, непрерывно дифференцируема в некоторой области, содержащей начальные условия), то решение
задачи Коши (1) существует, единственно и определено на некотором малом интервале
. Это классическая теорема Коши.
Если же
лишь непрерывна, решение всё равно существует, но может перестать быть единственным (теорема Пеано).
Хрестоматийный пример отсутствия единственности — скалярное уравнение:
Здесь при
решением является как функция
, так и
.
Интересное начинается, когда переменная
принадлежит не
, а какому-нибудь бесконечномерному банахову пространству.
В этом случае теорема Коши остаётся в силе, а вот теорема Пеано уже, вообще говоря, неверна.
В качестве примера (принадлежащего Ж. Дьедонне) рассмотрим задачу Коши в пространстве
, которое состоит из бесконечных последовательностей
, сходящихся к нулю.
С нормой
это пространство является банаховым.
Зададим в
следующую систему:
Разделяя переменные в каждом из уравнений, получаем равенства
которые неявно определяют компоненты решения
.
Предположим, что последовательность
принадлежит
при некотором
.
Это означает, что
при
. Однако переход к пределу в равенстве (3) при
дает абсурдный результат:
.
Полученное противоречие доказывает, что задача (2) не имеет решений в
.
Оказывается, однако, что для некоторого класса бесконечных систем теорему Пеано всё-таки можно «спасти».
Пусть
— некоторый временной интервал, а
— произвольное непустое множество индексов. В частности, выше обсуждались случаи, когда
и
.
Рассмотрим следующую задачу Коши:
Здесь
— конечное подмножество
, которое является своим для каждой функции
. В частности,
.
Мы предположим, что каждая функция
непрерывна и ограничена:
Верна следующая
Теорема. Задача Коши (4) имеет решение
, где каждая компонента
.}
Доказательство. (Нижеследующий текст требует от читателя некоторой осведомленности в области функционального анализа и готовности самостоятельно восстанавливать несложные детали.)
Введем в пространстве
топологию прямого произведения с помощью системы полунорм:
где
— произвольное непустое конечное подмножество
.
Эта система полунорм превращает
в локально выпуклое пространство. Напомним, что подмножество
называется ограниченным, если для любого конечного
выполнено условие:
Согласно теореме Тихонова, в этой топологии всякое ограниченное и замкнутое подмножество
является компактным.
Через
обозначим, как обычно, пространство непрерывных функций из
в
. Это тоже локально выпуклое пространство с системой полунорм
Пространства
и
полны.
Через
обозначим множество непрерывных функций
, удовлетворяющих следующим двум условиям:
Множество
замкнуто, выпукло и, по третьей теореме Асколи (см. Лоран Шварц Анализ, т. 2, М.: Мир, 1972), компактно.
Через
обозначим проекцию на конечномерное подпространство, такую что
Зададим отображение
формулой
, где компоненты
определяются как
Легко проверить, что
. Поскольку
— компактное выпуклое подмножество локально выпуклого пространства, то по теореме Шаудера — Тихонова отображение
имеет неподвижную точку в
.
Эта неподвижная точка и является искомым решением задачи (4).
Теорема доказана.-Источник
|
