|
Professor Seleznov
|
Пример Ковалевской заключается в следующем. Рассмотрим задачу Коши для уравнения в частных производных:
Легко показать, что эта задача не обладает аналитическим решением в окрестности начала координат. Говоря точнее, она не имеет решения, раскладывающегося в сходящийся в некотором бикруге
степенной ряд вида
Ковалевская построила этот пример как иллюстрацию того, что если условия теоремы Коши — Ковалевской не выполнены, то задача Коши может не иметь аналитического решения.
Подробное изложение и доказательство классической теоремы Коши — Ковалевской можно найти в монографии В. И. Смирнова: Курс высшей математики. Том IV. Часть 2. М.: Наука, 1981.
Казалось бы, на этом можно поставить точку…
Рассмотрим множество функций
Это подпространство в линейном пространстве целых функций переменной
. Функция называется целой, если её ряд Тейлора в любой точке (или, что эквивалентно, в начале координат) имеет бесконечный радиус сходимости.
Пространство
является банаховым относительно указанной в его определении нормы.
Теорема. Задача
имеет и притом единственное решение
в пространстве целых функций переменных
.
Эффект состоит в том, что если мы сузим пространство начальных условий, то теорема существования и единственности «возвращается».
Доказательство теоремы.
Подставим ряд
в уравнение (1). Приравнивая члены при одинаковых степенях
, получим задачу Коши для бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
Эту систему можно упростить с помощью замены
:
Заметим, что последовательность
принадлежит пространству
— это банахово пространство ограниченных последовательностей
,
, с нормой
.
Правая часть системы (2) представляет собой ограниченный линейный оператор, который переводит последовательность
в последовательность
.
Таким образом, (2) – это задача Коши для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с ограниченным оператором на банаховом пространстве
.
По известной теореме из функционального анализа, голоморфное решение этой системы
существует и единственно в любом круге
.
Эту теорему можно найти во втором томе курса «Анализ» Лорана Шварца. Заметим только, что доказывается она точно так же, как и её конечномерная версия, — с помощью принципа сжатых отображений.
Теорема доказана.-Источник
|
|
|
