|
Professor Seleznov
|
Эта задача представляет собой несколько более продвинутую модификацию задач, встречающихся на студенческих олимпиадах по механике. Там обычно вместо шара в кардановом подвесе рассматривается диск на стержне. Интересно также, что основные проблемы в этой задаче начинаются не на уровне динамики, а на уровне кинематики.
Однородный шар радиуса
закреплен в кардановом подвесе так, что он может свободно вращаться вокруг своего неподвижного центра
. Момент инерции шара относительно любой оси, проходящей через точку
, равен
.
На шаре сидит жук массы
. В начальный момент времени система покоится, затем жук начинает ползти по шару так, что его траектория вычерчивает на шаре окружность радиуса
. Придя в исходную точку, жук останавливается.
На какой угол повернулся шар к моменту остановки жука, если сила тяжести отсутствует?
Специалисты по теоретической механике, коих немало на Хабре, наверняка найдут короткое и прямое решение этой задачи, приводящее к явному и красивому ответу. Мы же ограничимся лишь следующими тремя наблюдениями.
Во-первых, мы покажем, что шар останавливается в тот самый момент, когда останавливается жук. Во-вторых, докажем, что ответ задачи совершенно не зависит от конкретного закона движения жука по окружности. Наконец, мы выпишем систему дифференциальных уравнений, из которой численно находится матрица поворота шара, которая, собственно, и определяет и угол, и ось его поворота.
Обозначим через
время от начала движения жука до его остановки.
Свяжем с шаром декартову систему координат
так, чтобы жук двигался в плоскости
. Тогда радиус-вектор жука выражается формулой
Функция
по условию монотонно возрастает на отрезке
и такова, что
Кинетический момент системы относительно точки
, очевидно, сохраняется:
Здесь
— угловая скорость шара относительно лабораторной системы координат, а
– скорость жука.
Поскольку радиус-вектор жука естественным образом задан в системе, связанной с шаром, удобно расписать абсолютную скорость жука по теореме о сложении скоростей:
где
— переносная скорость жука, а
— его относительная скорость.
Подставляя эти формулы в уравнение (1) и решая получившееся линейное алгебраическое уравнение относительно вектора
, находим:
где
Формула (2) отражает важный факт: в тот момент, когда жук останавливается на шаре, шар тоже прекращает вращение.
Другой важный факт, следующий из формул (2) и (3), заключается в следующем: вектор угловой скорости шара, заданный в связанной с шаром системе координат, представляется в виде
где
И тут начинается самое интересное. Введем лабораторную систему координат
так, чтобы при
она совпадала с системой
.
Через
обозначим матрицу размера
, которая является решением следующей задачи Коши для матричного дифференциального уравнения:
где
а
— компоненты вектора
(см. формулу (4)) в системе
.
Смысл оператора
следующий. Предположим, вектор
жестко связан с шаром. Его координаты относительно системы
не меняются, а относительно системы
изменяются, поскольку этот вектор поворачивается вместе с шаром. То есть наблюдатель, находящийся в системе
, видит зависимость координат вектора
от времени:
.
В учебниках по теоретической механике доказывается, что
Таким образом,
— это матрица поворота шара. В этой матрице и содержится ответ на вопрос задачи.
Сделаем замену переменной
в (5):
Решением этой системы является матрица
; соответственно, искомая матрица поворота шара — это
.
Важный вывод из этого наблюдения состоит в том, что матрица поворота шара совершенно не зависит от конкретного закона движения жука
.
Маловероятно, что систему (6) можно проинтегрировать в замкнутой форме. Этот вопрос требует отдельного исследования. Однако матрицу поворота шара всегда можно найти численно, решив задачу (6) на интервале
.-Источник
|
